Lyapunov稳定性判据

预设时间稳定性判据

缩放变换函数（STF）

需要一个 scaling transformation function(STF，缩放变换函数)

$$ \kappa \left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{\varepsilon + {{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}^n}}},t \in \left[ {0,T} \right]\\ \frac{1}{\varepsilon },t \in \left( {T, + \infty } \right) \end{array} \right. \tag{1} $$

1. $\kappa \left( t \right)$ 在$\left[ {0, + \infty } \right)$上为连续非递减函数，且$\kappa \left ( 0 \right ) = \frac{1}{1+\varepsilon }$.

2. $\kappa \left( t \right)$ 在$\left[ {0, + \infty } \right)$属于$\mathbb{C}^n$.

对于正定的$Lyapunov$函数$V\left( t \right)$，如果存在 $c,d\in\mathbb{R}^+$，且满足如下不等式：

$$ \dot V\left( t \right) \le - cV\left( t \right) - \frac{{\dot \kappa \left( t \right)}}{{\kappa \left( t \right)}}V\left( t \right) + d \tag{2} $$

Proof：

令$\bar{V}\left( t \right)=\kappa \left( t \right) V\left( t \right)$，可以得到：

$$ \bar V\left( t \right) \le - c\bar V\left( t \right) + \kappa \left( t \right)d \tag{3} $$

基于上式，我们有

$$ V\left( t \right) \le {{V\left( 0 \right){e^{ - t}}} \over {\left( {1 + \varepsilon } \right)\kappa \left( t \right)}} + {d \over {c\varepsilon }\kappa \left( t \right)} \tag{4} $$

由STF的定义可知，当 $t \ge T$ 时，有 $\kappa \left( t \right) = {1 \over \varepsilon }$，有 $V\left( t \right) \le \varepsilon V\left( 0 \right) + {d \over c}$，当$t\to+\infty$，有$V\left( t \right)\to{d \over c}$。